파스칼 정리

최근 수정 시각: (5년 전)
파스칼의 정리에서 넘어옴
분류
목차
1. 요약 (원과 삼각형, 직선에 관한 정리)2. 증명3. 요약 (원뿔곡선에 내접하는 육각형에 대한 정리)4. 증명

1. 요약 (원과 삼각형, 직선에 관한 정리) [편집]

파일:파스칼.png
한 원 위에 있는 임의의 점 AA, BB, CC, DD, EE, FF를 잡자. 현 AB‾\overline{AB}와 현 DE‾\overline{DE}의 교점을 JJ, 현 BC‾\overline{BC}와 현 EF‾\overline{EF}의 교점을 LL, 현 CD‾\overline{CD}와 현 AF‾\overline{AF}의 교점을 KK라 하면, 점 JJ, KK, LL은 한 직선 위에 있다.

2. 증명 [편집]

메넬라오스 정리와 방멱 정리를 사용한다.

△GHI\triangle{GHI}와 DKC‾\overline{DKC}에서 메넬라오스 정리를 적용하면
GK‾KH‾\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}HD‾DI‾\frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}IC‾CG‾\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}=1 ☞ ①

△GHI\triangle{GHI}와 AJB‾\overline{AJB}에서 메넬라오스 정리를 적용하면
GA‾AH‾\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}HJ‾JI‾\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}IB‾BG‾\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}=1 ☞ ②

△GHI\triangle{GHI}와 FLE‾\overline{FLE}에서 메넬라오스 정리를 적용하면
GF‾FH‾\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}HE‾EI‾\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}IL‾LG‾\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}=1 ☞ ③

방멱의 정리에 의해
BI‾\overline{BI} CI‾\overline{CI}=DI‾\overline{DI} EI‾\overline{EI}
AH‾\overline{AH} FH‾\overline{FH}=DH‾\overline{DH} EH‾\overline{EH}
GA‾\overline{GA} GF‾\overline{GF}=GC‾\overline{GC} GB‾\overline{GB}
위의 세 식을 ④라고 하자.

①, ②, ③을 모두 곱한다.
GK‾KH‾\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}HD‾DI‾\frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}IC‾CG‾\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}GA‾AH‾\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}HJ‾JI‾\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}IB‾BG‾\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}GF‾FH‾\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}HE‾EI‾\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}IL‾LG‾\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}=1
그리고 식 ④를 적용해 분자의 BI‾\overline{BI} CI‾\overline{CI}는DI‾\overline{DI} EI‾\overline{EI}로, 분자의 AH‾\overline{AH} FH‾\overline{FH}는DH‾\overline{DH} EH‾\overline{EH}로, 분자의 GA‾\overline{GA} GF‾\overline{GF}는GC‾\overline{GC} GB‾\overline{GB}로 바꾸고, 소거시킬 수 있는 것들을 소거하면
GK‾KH‾\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}HJ‾JI‾\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}IL‾LG‾\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}=1이 된다.

그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 세 점 JJ, KK, LL은 한 직선 위에 있다.

3. 요약 (원뿔곡선에 내접하는 육각형에 대한 정리) [편집]

파일:파스칼_포물선 타원.jpg
포물선
타원
파일:파스칼_쌍곡선.jpg
물론 육각형이 쌍곡선 한쪽에만 내접해도 된다.
원뿔곡선에 내접하는 육각형의 대변의 연장선은 한 직선 위에 있다.

4. 증명 [편집]

원을 사영시키면 원뿔곡선이 된다는 것을 이용한다.

라이선스를 별도로 명시하지 않은 문서는 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다.
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

문서의 기여자는 역사 탭에서 확인할 수 있습니다.
접두어의 N: - 나무위키 사용자, R: - 리그베다 위키의 사용자를 뜻합니다.
자세한 사항은 나무위키에서 동일한 문서의 역사를 참고하시기 바랍니다.